Простые числа в основе векторных представлений: новый подход к машинному обучению

от

Автор: Денис Аветисян

Исследователи предлагают детерминированный метод генерации многомерных векторов, использующий свойства простых чисел для повышения эффективности и структурной целостности.

🧐

Купил акции по совету друга? А друг уже продал. Здесь мы учимся думать своей головой и читать отчётность, а не слушать советы.

Бесплатный телеграм-канал
Встраивание DynamicPrime демонстрирует адаптивность к уровню шума и размерности данных: при низком уровне шума и малых размерностях метод сохраняет локальную топологию, разворачивая многообразие и обеспечивая почти идеальную линейную реконструкцию, тогда как при высоком уровне шума и малых размерностях локальная структура разрушается, но увеличение размерности восстанавливает сферическое распределение, формируя квази-ортогональное гауссово распределение, оптимальное для задач гипердименсиональных вычислений.
Встраивание DynamicPrime демонстрирует адаптивность к уровню шума и размерности данных: при низком уровне шума и малых размерностях метод сохраняет локальную топологию, разворачивая многообразие и обеспечивая почти идеальную линейную реконструкцию, тогда как при высоком уровне шума и малых размерностях локальная структура разрушается, но увеличение размерности восстанавливает сферическое распределение, формируя квази-ортогональное гауссово распределение, оптимальное для задач гипердименсиональных вычислений.

Представлена платформа Primal, объединяющая квази-ортогональное хеширование и обучение на многообразиях с использованием частотного кодирования на основе простых чисел.

Несмотря на широкое распространение стохастических методов, создание детерминированных и эффективных представлений данных остается сложной задачей. В данной работе, ‘Primal: A Unified Deterministic Framework for Quasi-Orthogonal Hashing and Manifold Learning’, представлен новый подход, использующий свойства простых чисел для построения устойчивых и настраиваемых векторных представлений. Предложенная схема, основанная на принципе Бесиковича, объединяет методы обучения на многообразиях и хэширования, обеспечивая как точную реконструкцию сигнала, так и высокую энтропию для задач защиты приватности. Сможет ли данный детерминированный подход стать альтернативой случайным проекциям и открыть новые возможности в области гиперпространственных вычислений и машинного обучения?

Пределы Случайности в Многомерных Пространствах

Традиционные методы, такие как использование нормализованных случайных векторов Гаусса, сталкиваются с проблемой когерентности в многомерных пространствах. Данная проблема заключается в том, что с увеличением размерности вектора, вероятность того, что два случайных вектора будут близки по направлению, возрастает. Это приводит к снижению способности эффективно представлять и разделять сигналы, поскольку векторы теряют свою ортогональность. Высокая когерентность затрудняет точное восстановление исходного сигнала из его проекций, что существенно ограничивает производительность многих алгоритмов обработки данных и машинного обучения, особенно в задачах, требующих разреженного представления данных. В результате, при работе с данными высокой размерности, эффективность случайных проекций на основе гауссовых векторов существенно снижается, и требуются более сложные подходы для достижения оптимальной производительности.

Методы, основанные на случайных преобразованиях Фурье, представляют собой привлекательный компромисс между вычислительной эффективностью и качеством представления данных. Однако, несмотря на свою скорость, они часто не достигают теоретически возможной границы, определяемой неравенством Велша. Это связано с тем, что случайные признаки Фурье не всегда обеспечивают необходимое снижение корреляции между векторами в высокоразмерном пространстве, что приводит к ухудшению способности различать сигналы и эффективно представлять информацию. В результате, для достижения оптимальной производительности в задачах, требующих точного и компактного представления данных, могут потребоваться более сложные и ресурсоемкие подходы, несмотря на преимущества случайных преобразований Фурье в плане скорости вычислений.

Высокоразмерные вычисления, в частности, подход гиперразмерных вычислений, критически зависят от поддержания низкой когерентности векторов для эффективного кодирования и обработки информации. Теоретически, существуют пределы когерентности, определяемые, например, границей Уэлша, которые гарантируют оптимальное представление сигналов. Однако, существующие методы случайных проекций, несмотря на свою простоту, зачастую не позволяют достичь этих теоретических границ. Это связано с тем, что в высокоразмерных пространствах случайные векторы имеют тенденцию к концентрации, что приводит к увеличению когерентности и, как следствие, к снижению эффективности алгоритмов. Поиск методов генерации случайных векторов с минимальной когерентностью остается актуальной задачей в области высокоразмерных вычислений, поскольку это напрямую влияет на производительность и масштабируемость соответствующих систем и приложений, особенно в задачах машинного обучения и обработки данных.

Анализ распределений оптимальности и избыточной когерентности показывает, что StaticPrime обеспечивает более точное приближение к теоретическим пределам Welch, генерируя наборы векторов с выраженными отталкивающими спектральными свойствами, в отличие от Gaussian.
Анализ распределений оптимальности и избыточной когерентности показывает, что StaticPrime обеспечивает более точное приближение к теоретическим пределам Welch, генерируя наборы векторов с выраженными отталкивающими спектральными свойствами, в отличие от Gaussian.

Primal: Детерминированный Фреймворк Генерации Векторов

В основе фреймворка Primal лежит использование простых чисел для генерации высокоразмерных векторов, в отличие от традиционных методов, основанных на случайном выборе значений. Вместо случайных величин, компоненты векторов конструируются на базе заранее определенных простых чисел и их комбинаций. Этот подход позволяет избежать статистической неопределенности, присущей случайным векторам, и обеспечивает детерминированную генерацию, что критически важно для воспроизводимости и предсказуемости результатов. Конкретно, каждый элемент вектора $x \in \mathbb{R}^n$ формируется на основе простого числа $p_i$, что обеспечивает равномерное распределение и минимизирует коллизии. Такой детерминированный подход является ключевым отличием Primal от стандартных методов, таких как случайные проекции.

Принципиальное отличие подхода Primal от леммы Джонсона-Линденстрауса заключается в том, что последняя утверждает возможность сохранения расстояний между точками при снижении размерности с высокой вероятностью, при условии случайного проецирования. В то время как лемма Джонсона-Линденстрауса опирается на случайность для достижения этого эффекта, Primal использует детерминированную конструкцию на основе простых чисел, что позволяет избежать вероятностных ограничений и демонстрирует, что снижение размерности может быть достигнуто и иным путем, не полагаясь на случайные проекции и соответствующие вероятностные гарантии сохранения расстояний. Таким образом, Primal предлагает альтернативный детерминированный подход к снижению размерности, который не согласуется с основными предпосылками леммы Джонсона-Линденстрауса.

В основе Primal лежит расширение принципов построения Эквиангулярных Тесных Фреймов (ETF), направленное на максимизацию разделения между векторами и минимизацию их когерентности. Данный подход позволяет добиться снижения среднеквадратичной ошибки кросс-корреляции (RMS cross-correlation error) до ≈0.5% по сравнению с базовыми методами генерации векторов. В отличие от случайных подходов, Primal обеспечивает контролируемую структуру векторов, что напрямую влияет на снижение когерентности и, как следствие, на улучшение показателей точности в задачах, чувствительных к корреляции между векторами, таких как поиск ближайших соседей и кластеризация. Достижение снижения ошибки в 0.5% подтверждается эмпирическими данными и демонстрирует эффективность подхода Primal в задачах, требующих высокой точности и минимизации искажений, вызванных корреляцией векторов.

Предложенное кодирование StaticPrime демонстрирует значительно более четкое распределение вероятностей косинусного сходства и на ≈1.8% снижает глобальную ошибку по сравнению с базовым методом Random Gaussian, что свидетельствует о его повышенной точности и эффективности.
Предложенное кодирование StaticPrime демонстрирует значительно более четкое распределение вероятностей косинусного сходства и на ≈1.8% снижает глобальную ошибку по сравнению с базовым методом Random Gaussian, что свидетельствует о его повышенной точности и эффективности.

StaticPrime: Кодирование Позиции с Оптимальной Когерентностью

Метод StaticPrime использует фреймворк Primal для генерации позиционных кодировок, что позволяет превзойти предел Уэлша ($L_w$). В отличие от традиционных методов, StaticPrime конструирует кодировки на основе принципов, обеспечивающих более эффективное представление позиционной информации. Предел Уэлша определяет теоретический минимум для когерентности сигналов; превышение этого предела указывает на улучшенную способность модели различать различные позиции во входной последовательности. Использование фреймворка Primal позволяет StaticPrime генерировать кодировки с повышенной когерентностью и, следовательно, более точным представлением позиций, что положительно сказывается на производительности модели в задачах, чувствительных к позиционному контексту.

Метод StaticPrime демонстрирует превосходную когерентность по сравнению с гауссовскими базовыми линиями за счет использования свойств простых чисел. В ходе тестирования было зафиксировано снижение среднеквадратичной ошибки (RMS error) на ≈1.8% по сравнению с базовыми методами. Это улучшение обусловлено более предсказуемым и структурированным характером кодирования позиций, обеспечиваемым использованием простых чисел, что позволяет модели эффективнее учитывать относительное положение токенов в последовательности.

Метод StaticPrime использует простые числа напрямую для формирования позиционных кодировок, обеспечивая детерминированное и предсказуемое отображение позиции в векторное представление. В отличие от случайных или основанных на функциях методов, применение простых чисел гарантирует, что каждой позиции соответствует уникальный и воспроизводимый вектор. Это устраняет неоднозначность и позволяет точно восстановить информацию о позиции, что особенно важно для задач, требующих высокой точности и стабильности, таких как обработка последовательностей и машинный перевод. Детерминированность также упрощает отладку и анализ поведения модели, поскольку результаты не зависят от случайных факторов.

Анализ косинусного сходства и визуальных реконструкций показывает, что в четвертом измерении выходных данных модель в режиме глубокой линеаризации (s=0.007) испытывает наибольшие трудности с поддержанием высокой внутриклассовой схожести при наличии шума, хотя характерные геометрические признаки сохраняются во всех масштабах.
Анализ косинусного сходства и визуальных реконструкций показывает, что в четвертом измерении выходных данных модель в режиме глубокой линеаризации (s=0.007) испытывает наибольшие трудности с поддержанием высокой внутриклассовой схожести при наличии шума, хотя характерные геометрические признаки сохраняются во всех масштабах.

DynamicPrime: Объединение Топологии и Криптографии

DynamicPrime представляет собой инновационную платформу, объединяющую принципы топологического анализа данных и криптографического хеширования в единой структуре. В отличие от традиционных методов, которые рассматривают эти области как отдельные дисциплины, DynamicPrime позволяет плавно переходить между сохранением топологии данных — например, при построении многообразий для визуализации сложных структур — и обеспечением криптографической безопасности. Эта возможность достигается за счет использования специальных алгоритмов, которые позволяют эффективно отображать данные в хеш-пространство, сохраняя при этом информацию об их внутренней структуре и взаимосвязях. В результате, DynamicPrime открывает новые горизонты в обработке данных, позволяя решать задачи, требующие как сохранения информации о структуре данных, так и обеспечения их конфиденциальности и целостности, что делает его ценным инструментом в различных областях, от машинного обучения до защиты информации.

Универсальность DynamicPrime открывает широкие возможности для применения в различных областях. Благодаря способности плавно переходить от топологического анализа данных к криптографическому хешированию, система может использоваться как для визуализации сложных многомерных данных, позволяя выявлять скрытые закономерности и структуры, так и для построения надежных систем безопасных вычислений. Например, топологический этап может использоваться для предварительной обработки данных, уменьшая их размерность и выделяя ключевые признаки, после чего криптографический этап обеспечивает конфиденциальность и целостность информации при передаче или хранении. Такой симбиоз позволяет создавать инновационные решения в областях, требующих одновременно анализа данных и защиты информации, например, в биоинформатике, финансовом моделировании и системах машинного обучения.

Система DynamicPrime представляет собой инновационный подход к обработке данных, значительно превосходящий возможности традиционных методов обучения на многообразиях. В отличие от них, DynamicPrime не ограничивается лишь выявлением структуры данных, но и интегрирует криптографические хеш-функции, обеспечивая как сохранение топологических свойств, так и высокий уровень безопасности. Такое сочетание позволяет использовать систему для решения широкого спектра задач — от визуализации сложных данных и анализа больших объемов информации до обеспечения конфиденциальности и целостности при проведении вычислений. Уникальная гибкость DynamicPrime заключается в возможности плавной адаптации к различным требованиям, делая её надежным и универсальным инструментом для современной обработки данных и криптографии, способным эффективно функционировать в разнообразных приложениях, требующих как анализа, так и защиты информации.

Достаточная размерность позволяет модели эффективно классифицировать данные, при этом линейные режимы (s=0.007 и s=0.02) обеспечивают лучшее разделение классов, поскольку абстрагируют геометрию в линейные многообразия, в то время как полная реконструкция (s=1.0) сохраняет шум и снижает сходство внутри классов.
Достаточная размерность позволяет модели эффективно классифицировать данные, при этом линейные режимы (s=0.007 и s=0.02) обеспечивают лучшее разделение классов, поскольку абстрагируют геометрию в линейные многообразия, в то время как полная реконструкция (s=1.0) сохраняет шум и снижает сходство внутри классов.

Расширение Горизонтов: Конфиденциальность и Нейронные Представления

В основе повышения безопасности и конфиденциальности при обучении моделей машинного обучения лежит фреймворк Primal, дополненный DynamicPrime. Данный подход обеспечивает детерминированность процессов, что критически важно для методов, таких как Split Learning, где данные распределены между несколькими сторонами. Детерминированность позволяет исключить случайные факторы, которые могли бы раскрыть конфиденциальную информацию, и гарантирует воспроизводимость результатов. В отличие от традиционных методов, где случайность может маскировать уязвимости, Primal и DynamicPrime создают надежную основу для защиты данных, позволяя строить более безопасные и прозрачные системы машинного обучения. Это особенно актуально в сферах, где конфиденциальность является приоритетом, например, в здравоохранении или финансах, где даже незначительные утечки данных могут иметь серьезные последствия.

Недавние исследования показали, что детерминированный характер DynamicPrime может существенно улучшить работу неявных нейронных представлений (INR), таких как SIREN. INR, известные своей способностью эффективно представлять сложные функции, часто страдают от “спектрального смещения” — тенденции отдавать предпочтение низкочастотным компонентам при аппроксимации. DynamicPrime, обеспечивая предсказуемость и воспроизводимость вычислений, позволяет снизить эту предвзятость, позволяя INR более точно моделировать широкий спектр частот и, как следствие, представлять функции с большей точностью. Это особенно важно в задачах, где важна высокая детализация и точность представления данных, например, в генерации изображений или моделировании физических процессов, где $f(x)$ должна быть представлена с высокой точностью.

Предлагаемый комплексный подход открывает перспективы для создания машинного обучения нового поколения, характеризующегося повышенной эффективностью, безопасностью и прозрачностью. Внедрение детерминированных методов, таких как DynamicPrime, в сочетании с Implicit Neural Representations, позволяет не только минимизировать риски, связанные с утечкой данных, но и значительно ускорить процесс обучения и снизить вычислительные затраты. Более того, детерминированность процессов способствует повышению интерпретируемости моделей, позволяя исследователям и пользователям лучше понимать логику принятия решений и выявлять потенциальные смещения. В результате, создаются системы, которые не только точны и надежны, но и понятны и контролируемы, что особенно важно в критически важных областях, таких как здравоохранение и финансы.

Представленная работа демонстрирует стремление к пониманию фундаментальных принципов, лежащих в основе алгоритмов машинного обучения. Авторы предлагают детерминированный подход, Primal, использующий свойства простых чисел для генерации высокоразмерных векторов. Этот метод, в отличие от стохастических аналогов, позволяет добиться большей предсказуемости и эффективности, что особенно важно при работе со сложными данными и задачами обучения с учителем. Как отмечал Брайан Керниган: «Совершенство — это не когда уже нечего добавить, а когда уже нечего убрать». В данном исследовании, удаление случайности в пользу детерминированного подхода позволяет добиться большей ясности и контроля над процессом отображения признаков, что соответствует принципу лаконичности и эффективности, высоко ценимому в программировании и науке.

Куда Ведет Эта Игра?

Представленная работа, по сути, лишь первый взгляд на структуру, скрытую в кажущемся хаосе высокоразмерных данных. Метод Primal, используя свойства простых чисел, демонстрирует, что «случайность» может быть не столь случайной, как принято считать. Однако, вопрос не в том, насколько эффективно можно отобразить данные в новое пространство, а в том, что именно это отображение делает с информацией. Остается нерешенной задача понимания, какие структуры, неявные в исходных данных, выявляются или, напротив, скрываются таким детерминированным подходом.

Ограничения, связанные с вычислительной сложностью работы с большими простыми числами, требуют дальнейших исследований в области оптимизации и аппаратной реализации. Но более фундаментальный вопрос заключается в следующем: действительно ли ключ к пониманию многообразий данных кроется в их «первичной кодировке», или же мы просто находим более эффективный способ манипулировать символами, не понимая их значения? Реальность — это открытый исходный код, который мы ещё не прочитали, и Primal — лишь один из инструментов для декомпиляции.

Перспективы включают исследование возможности применения принципов Primal к другим алгоритмам машинного обучения, а также разработку методов для динамической адаптации «первичных кодов» к изменяющимся данным. В конечном счете, ценность этого подхода будет определяться не его технической изяществом, а способностью раскрывать скрытые закономерности и предсказывать будущее, основываясь на прошлом. Это игра, в которой правила постоянно меняются, и только те, кто готов их взламывать, смогут победить.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2511.20839.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-11-30 10:40