Трансформеры и динамические системы: как нейросети учатся предсказывать будущее

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование углубленно анализирует, как архитектуры трансформеров представляют и моделируют динамические системы, раскрывая связь между их эффективностью и фундаментальными принципами теории динамических систем.

🧐

Купил акции по совету друга? А друг уже продал. Здесь мы учимся думать своей головой и читать отчётность, а не слушать советы.

Бесплатный телеграм-канал

Трансформер демонстрирует способность точно воспроизводить колебательную динамику линейных систем с одним степенем свободы при <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> k=2000~\mathrm{N/m} </span> и положительных авторегрессионных коэффициентах, сохраняя как амплитуду и фазу, так и доминирующий модальный пик в частотной области и когерентный модальный гребень во временном-частотном представлении, однако не способен корректно восстановить резонансный пик и когерентный модальный гребень в случаях с <span class="katex-eq" data-katex-display="false"> k=500~\mathrm{N/m} </span> и смешанными авторегрессионными коэффициентами, выдавая чрезмерно сглаженные отклики. — Трансформер демонстрирует способность точно воспроизводить колебательную динамику линейных систем с одним степенем свободы при $k=2000~\mathrm{N/m}$ и положительных авторегрессионных коэффициентах, сохраняя как амплитуду и фазу, так и доминирующий модальный пик в частотной области и когерентный модальный гребень во временном-частотном представлении, однако не способен корректно восстановить резонансный пик и когерентный модальный гребень в случаях с $k=500~\mathrm{N/m}$ и смешанными авторегрессионными коэффициентами, выдавая чрезмерно сглаженные отклики.

Механический анализ показывает, что производительность однослойных трансформеров в задачах моделирования динамических систем связана с концепциями отложенных вложений и оптимальной размерностью латентного пространства, однако ограничена спектральной фильтрацией и невыпуклостью.

Несмотря на растущую популярность трансформеров в моделировании динамических систем и прогнозировании временных рядов, механизмы их работы остаются малоизученными с точки зрения классической теории динамических систем. В данной работе, ‘A Mechanistic Analysis of Transformers for Dynamical Systems’, проводится анализ репрезентативных возможностей однослойных трансформеров применительно к динамическим данным, выявляя связь между их производительностью и концепциями, такими как временные встраивания и размерность латентного пространства. Полученные результаты демонстрируют, что ограничения, связанные с фильтрацией спектра и условиями выпуклости, могут влиять на способность модели адекватно представлять динамику, в то время как при частичной наблюдаемости внимание функционирует как механизм адаптивного временного встраивания. Когда и почему трансформеры превосходят или уступают классическим моделям динамических систем — вопрос, требующий дальнейшего исследования?

За пределами последовательности: Новый взгляд на динамику

Традиционные методы моделирования динамических систем, такие как прямое решение уравнений Навье-Стокса $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ и $\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = -(\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v} + \nu \nabla^2 \mathbf{v} - \frac{1}{\rho}\nabla p$ , часто сталкиваются с серьезными вычислительными трудностями по мере увеличения сложности системы. Это связано с тем, что число необходимых вычислений растет экспоненциально с увеличением числа степеней свободы, что делает моделирование высокоразмерных, турбулентных потоков или сложных химических реакций практически невозможным на доступном оборудовании. В результате, даже с использованием самых мощных суперкомпьютеров, приходится идти на значительные упрощения и приближения, что снижает точность и надежность получаемых результатов. Альтернативные подходы, способные эффективно описывать динамику сложных систем без чрезмерных вычислительных затрат, представляют собой важную задачу современной науки.

В реальности, большинство динамических систем, будь то атмосферные явления, финансовые рынки или даже биологические процессы, характеризуются ограниченной наблюдаемостью. Это означает, что доступ к полному набору данных, необходимому для точного моделирования, отсутствует. Зачастую, исследователи сталкиваются лишь с частичной информацией, подверженной шумам и погрешностям измерений. Такая неполнота данных существенно усложняет задачу построения адекватных моделей и надежных прогнозов. Вместо полного описания системы, необходимо разрабатывать методы, способные эффективно экстраполировать информацию из ограниченных наблюдений, реконструируя скрытые состояния и предсказывая будущее поведение системы, несмотря на присущую ей неопределенность.

Архитектура Transformer представляет собой принципиально новый подход к моделированию динамических систем, предлагая альтернативу традиционным методам, таким как прямое решение уравнений Навье-Стокса. В отличие от этих методов, Transformer не требует явного решения дифференциальных уравнений, а вместо этого использует механизм самовнимания (self-attention) для выявления и представления сложных взаимосвязей внутри системы. Этот механизм позволяет модели концентрироваться на наиболее значимых частях данных, эффективно обрабатывая последовательности и учитывая долгосрочные зависимости. Благодаря способности улавливать нелинейные взаимодействия и представлять динамику системы в виде последовательности векторов, Transformer демонстрирует высокую эффективность в прогнозировании и моделировании сложных процессов, превосходя традиционные подходы в задачах, где вычислительные ресурсы ограничены или доступ к полным данным затруднен.

Для эффективной реализации архитектуры Transformer при моделировании динамических систем необходимо уделять особое внимание кодированию позиционной информации. В отличие от рекуррентных нейронных сетей, Transformer не имеет встроенного механизма учета порядка входных данных. Поэтому, для корректного анализа временных зависимостей и понимания взаимосвязи между элементами последовательности, используются методы позиционного кодирования, такие как Positional Encoding. Эти методы добавляют к входным данным информацию о позиции каждого элемента в последовательности, позволяя модели различать порядок и взаимосвязь элементов, что критически важно для точного предсказания поведения динамической системы. Без адекватного кодирования позиций, модель не сможет корректно обрабатывать временные ряды и предсказывать будущее состояние системы, поскольку потеряет информацию о порядке следования событий.

Визуализация полученного латентного пространства для 2D Transformer модели без позиционного кодирования демонстрирует структуру, сформированную в отсутствие информации о положении.

Реконструкция невидимого: Исследование пространства состояний

Метод временных задержек (Delay Embedding) позволяет реконструировать пространство состояний динамической системы, используя лишь одну наблюдаемую временную последовательность. Суть метода заключается в создании многомерного пространства, где каждая координата представляет собой значение наблюдаемой переменной в разные моменты времени с определенной задержкой $\tau$ . Таким образом, траектория в этом многомерном пространстве представляет собой эволюцию системы в пространстве состояний, даже если само пространство состояний непосредственно не измеряется. Выбор подходящей задержки $\tau$ и размерности вложения является критически важным для успешной реконструкции и обеспечения адекватного представления динамики системы.

Восстановление фазового пространства из одиночного временного ряда обосновано фундаментальными математическими принципами, ключевым из которых является теорема Такенса. Данная теорема определяет условия, при которых возможно достоверное представление динамической системы на основе измерений, выполненных вдоль некоторого сечения фазового пространства. В частности, теорема утверждает, что при соблюдении определенных условий, таких как достаточно большая размерность вложения ( $m$ ) и достаточная длина временного ряда, реконструированное пространство может быть эквивалентно исходному фазовому пространству. Выбор подходящей размерности вложения ( $m$ ) критичен для адекватного восстановления динамики системы и избежания ложных корреляций; теорема Такенса предоставляет критерии для оценки необходимой размерности на основе размерности исходного аттрактора и шума в данных.

Архитектура Transformer эффективно расширяет и использует методы восстановления пространства состояний, позволяя моделировать динамические системы даже при отсутствии полной информации о состоянии. В отличие от традиционных рекуррентных сетей, Transformer использует механизм внимания, что позволяет ему обрабатывать временные зависимости, не ограничиваясь последовательной обработкой данных. Это особенно важно при работе с данными, полученными из неполных наблюдений, поскольку Transformer может выявлять и использовать скрытые корреляции между переменными, реконструируя недостающие компоненты состояния. Способность архитектуры эффективно работать с неполными данными обусловлена её способностью изучать представления данных, устойчивые к шуму и пропущенным значениям, что повышает надежность прогнозов и обеспечивает моделирование сложных систем на основе ограниченной информации.

Представление динамики в виде AR-представления (авторегрессионной модели) позволяет Transformer эффективно прогнозировать будущее поведение системы, основываясь на прошлых состояниях. В данном контексте, AR-представление подразумевает, что текущее состояние системы может быть выражено как линейная комбинация её предыдущих состояний, что математически можно записать как $x(t) = \sum_{i=1}^{p} a_i x(t-i)$ , где $x(t)$ — состояние в момент времени t, $a_i$ — коэффициенты авторегрессии, а p — порядок модели. Transformer, обученный на исторических данных, способен оценивать эти коэффициенты и, используя прошлые состояния, рекурсивно предсказывать будущие значения, эффективно моделируя динамику системы даже при неполной информации о её структуре.

Визуализация изученного латентного пространства для 2D Transformer модели с изученным позиционным кодированием демонстрирует эффективное представление данных в сжатом виде.

Раскрытие скрытых структур: От закономерностей к предсказаниям

Системы, такие как осциллятор Ван дер Поля и уравнение Чафи-Инфанте, демонстрируют сложные динамические свойства, включая возникновение предельных циклов и формирование пространственных паттернов. Предельный цикл — это устойчивое периодическое решение, к которому система стремится после начальных возмущений. Формирование паттернов проявляется в виде устойчивых структур, возникающих в пространстве и времени, например, в виде полос или пятен. Данные явления обусловлены нелинейностью уравнений, описывающих данные системы, и могут быть использованы для моделирования различных физических процессов, включая колебания в электронных схемах и возникновение узоров на биологических поверхностях. Анализ этих систем требует применения специализированных математических методов, таких как анализ бифуркаций и исследование устойчивости решений.

Архитектура Transformer может быть применена для анализа динамических систем, таких как осциллятор Ван дер Поля и уравнение Чафи-Инфанте, с целью выявления базовых механизмов, определяющих их поведение. В отличие от традиционных методов анализа временных рядов, Transformer позволяет моделировать долгосрочные зависимости и нелинейные взаимодействия внутри системы, что особенно важно для систем, демонстрирующих сложные паттерны и предельные циклы. Применение механизма внимания (attention) позволяет модели фокусироваться на наиболее релевантных участках временного ряда, выявляя ключевые факторы, влияющие на динамику системы. Результаты анализа могут быть использованы для предсказания будущего поведения системы и понимания принципов формирования паттернов.

Спектральный анализ позволяет разложить сложные сигналы на составляющие их частоты, что является ключевым методом выявления скрытых закономерностей и характерных особенностей поведения системы. Этот процесс основан на применении математического преобразования, такого как преобразование Фурье, которое преобразует сигнал из временной области в частотную. Анализ полученного спектра позволяет идентифицировать доминирующие частоты, амплитуды и фазы, что дает возможность определить присущие системе резонансы, периодичности и другие важные характеристики. Например, наличие пиков на определенной частоте может указывать на наличие периодического процесса в исследуемой системе. $\mathcal{F}(t) = \in t_{-\in fty}^{\in fty} f(x)e^{-j2\pi xt} dx$ — формула, описывающая одномерное преобразование Фурье.

Анализ динамики уравнения Чафи-Инфанте, в частности, с использованием концепции инерциального многообразия, позволяет выявить основополагающие принципы формирования паттернов. Для эффективной реконструкции динамической системы требуется трехмерное латентное пространство; использование двухмерного пространства оказывается недостаточным для адекватного представления и воспроизведения наблюдаемых паттернов. Это связано с тем, что двухмерное пространство не способно захватить все необходимые степени свободы, определяющие эволюцию системы и ее переход к устойчивым состояниям. $\frac{du}{dt} = ...$ По сути, трехмерное пространство необходимо для точного кодирования и последующего восстановления динамического поведения, в то время как снижение размерности приводит к потере информации и искажению результатов.

Обучение Transformer с учетом параметров позволило снизить и унифицировать абсолютную ошибку при моделировании цилиндрического потока в широком диапазоне чисел Рейнольдса <span class="katex-eq" data-katex-display="false">Re</span> и сформировать латентное пространство с четко разделенными предельными циклами, что свидетельствует о способности модели разделять циклы, соответствующие различным значениям параметров, и упорядочивать их вдоль непрерывного многообразия, параметризованного числом Рейнольдса. — Обучение Transformer с учетом параметров позволило снизить и унифицировать абсолютную ошибку при моделировании цилиндрического потока в широком диапазоне чисел Рейнольдса $Re$ и сформировать латентное пространство с четко разделенными предельными циклами, что свидетельствует о способности модели разделять циклы, соответствующие различным значениям параметров, и упорядочивать их вдоль непрерывного многообразия, параметризованного числом Рейнольдса.

Обеспечение надежности: Валидация и контроль ошибок

Моделирование задач гидродинамики, таких как обтекание цилиндра потоком (FlowPastCylinder), требует пристального внимания к вопросам численной устойчивости и точности. Сложность заключается в том, что даже незначительные погрешности в начальных условиях или параметрах модели могут быстро накапливаться и приводить к нереалистичным или нестабильным результатам. Для обеспечения надежности вычислений необходимо использовать численные методы, которые гарантируют, что решение не будет бесконечно расти или осциллировать. Кроме того, важно тщательно выбирать размер шага по времени и пространству, а также проверять сходимость решения. Успешное моделирование требует баланса между точностью, скоростью вычислений и устойчивостью, что часто предполагает компромиссы и тщательную валидацию результатов.

Архитектура Transformer предоставляет эффективный механизм для внедрения анализа обратной ошибки, позволяя оценивать чувствительность моделей к неопределенностям и ошибкам во входных данных или параметрах. В отличие от традиционных методов, которые фокусируются на минимизации прямой ошибки предсказания, анализ обратной ошибки позволяет определить, насколько сильно небольшие изменения во входных данных повлияют на выходные результаты. Это особенно важно при моделировании сложных физических явлений, таких как гидродинамика, где даже незначительные погрешности в начальных условиях могут привести к значительным отклонениям в предсказаниях. Используя Transformer, исследователи могут не только получать точные прогнозы, но и количественно оценивать надежность этих прогнозов, что повышает доверие к модели и ее применимость в критически важных областях, таких как прогнозирование погоды или разработка новых материалов. $\epsilon = f^{-1}(y) - x$ где $\epsilon$ представляет собой возмущение, необходимое для достижения желаемого изменения в выходных данных $y$ при заданном входе $x$ .

Для обеспечения надежности и точности моделей, предназначенных для решения задач гидродинамики, таких как реконструкция потока Навье-Стокса, проводится тщательная валидация на основе реальных экспериментальных данных и всесторонний анализ потенциальных ошибок. В ходе исследований была достигнута высокая точность моделирования, подтвержденная среднеквадратичной ошибкой (MSE) в 0.014 при реконструкции потока. Этот результат свидетельствует о возможности создания прогностических инструментов, способных эффективно предсказывать поведение сложных систем и предоставлять достоверную информацию для принятия обоснованных решений в различных областях науки и техники, включая метеорологию и материаловедение.

Развитие представленных методов имеет далеко идущие последствия для широкого спектра научных дисциплин, от прогнозирования погоды до материаловедения, позволяя получать более точные прогнозы и принимать обоснованные решения. Особого внимания заслуживает тот факт, что модели, учитывающие параметры системы, демонстрируют более равномерное распределение ошибок при изменении числа Рейнольдса — ключевого параметра, определяющего характер течения жидкости. Это означает, что предсказания сохраняют высокую надежность даже в условиях значительных изменений в динамике потока, что критически важно для моделирования сложных физических явлений и разработки эффективных инженерных решений. Такая устойчивость к вариациям параметров существенно повышает практическую ценность и область применения разработанных моделей.

Анализ траекторий и ошибки предсказания для осциллятора Ван дер Поля показывает, что при полном наблюдении трансформер и многослойный перцептрон демонстрируют сопоставимые результаты, однако при частичном наблюдении трансформер значительно превосходит многослойный перцептрон, эффективно изучая скрытую динамику по отложенным входным данным.

Исследование демонстрирует, что эффективность трансформаторов в моделировании динамических систем напрямую зависит от организации латентного пространства и способности к захвату временных зависимостей, что перекликается с идеей о том, что структура определяет поведение. Как отмечал Джон фон Нейманн: «В науке нет места для предрассудков, только для логики». Это особенно актуально в контексте данной работы, где авторы стремятся к пониманию внутренних механизмов трансформаторов, а не просто к достижению высокой точности. Анализ показывает, что ключевым является не столько вычислительная мощность, сколько ясность и эффективность представления данных, что подчеркивает важность осмысленного проектирования архитектуры и выбора параметров латентного пространства.

Куда двигаться дальше?

Представленное исследование, рассматривающее трансформаторы в контексте динамических систем, обнажает интересную парадоксальность. Подобно хорошо спроектированному механизму, эффективность архитектуры оказывается тесно связана с фундаментальными принципами — в данном случае, с отложенными вложениями и адекватной размерностью латентного пространства. Однако, подобно любой конструкции, трансформаторы не лишены ограничений — спектральная фильтрация и отсутствие выпуклости становятся узкими местами, определяющими границы применимости.

Будущие исследования должны сосредоточиться не только на усовершенствовании существующих архитектур, но и на более глубоком понимании лежащих в их основе принципов. Следует задаться вопросом, возможно ли создание гибридных моделей, объединяющих сильные стороны трансформаторов с другими подходами к моделированию динамических систем. Особое внимание заслуживает разработка методов, позволяющих преодолеть ограничения, связанные со спектральной фильтрацией и невыпуклостью, а также адаптация этих моделей к задачам с неполными или зашумленными данными.

Хорошая архитектура незаметна, пока не ломается, и только тогда видна настоящая цена решений. Подобно тому, как опытный инженер анализирует причины отказа механизма, так и исследователям необходимо критически оценивать ограничения существующих моделей, чтобы создать более надежные и эффективные инструменты для понимания и прогнозирования поведения сложных динамических систем.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.21113.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-26 17:47