Фракталы, рынки и рождение новой экономики

от

Автор: Денис Аветисян

Эта статья прослеживает историю развития эконофизики — междисциплинарного подхода, который использует методы физики для анализа финансовых рынков и экономических процессов.

🧐

Купил акции по совету друга? А друг уже продал. Здесь мы учимся думать своей головой и читать отчётность, а не слушать советы.

Бесплатный телеграм-канал

Обзор эволюции эконофизики, фокусирующийся на масштабно-инвариантности, ‘толстых хвостах’ и понимании сложных экономических явлений как эмерджентных свойств.

Несмотря на стремление к рациональному объяснению экономических процессов, финансовые рынки демонстрируют устойчивые отклонения от классических моделей равновесия. В статье ‘Mandelbrot, Financial Markets and the Origins of «Econophysics»‘ рассматривается становление эконофизики, подчеркивая переход от поиска экзогенных причин к изучению внутренних, самоорганизующихся механизмов, определяющих поведение рынков. Ключевым принципом является принятие эмпирических данных, включая фрактальность и кластеризацию волатильности, как фундаментальных характеристик, а не как случайных погрешностей. Возможно ли, что признание сложности и нелинейности экономических систем позволит создать более адекватные модели и эффективные стратегии управления рисками?

За пределами нормальности: Ограничения традиционной экономики

Традиционные экономические модели на протяжении десятилетий опирались на нормальное (Гауссово) распределение, предполагая, что большинство событий концентрируется вокруг среднего значения, а отклонения от него встречаются редко и предсказуемо. Эта концепция, представляющая собой симметричную, колоколообразную кривую, упрощает анализ и прогнозирование, позволяя экономистам оценивать риски и доходность на основе вероятности различных исходов. Однако, подобный подход подразумевает, что отклонения от среднего значения подчиняются определенным закономерностям, что часто не соответствует действительности. Использование нормального распределения, в частности, предполагает, что экстремальные события — те, что лежат далеко от среднего — крайне маловероятны. В результате, модели, основанные на Гауссовом распределении, могут недооценивать вероятность наступления кризисов или неожиданных скачков, приводя к неверным оценкам рисков и упущению возможностей.

Наблюдения за реальными финансовыми данными неизменно демонстрируют отклонения от нормального распределения, лежащего в основе многих экономических моделей. Вместо ожидаемой колоколообразной кривой, финансовые показатели часто характеризуются так называемыми «толстыми хвостами» — повышенной вероятностью экстремальных событий и непредсказуемой волатильности. Это означает, что вероятность возникновения как значительных прибылей, так и крупных убытков существенно выше, чем предсказывают традиционные модели, основанные на гауссовском распределении. P(X > k\sigma), где σ — стандартное отклонение, значительно выше для реальных финансовых активов, чем предсказывается теорией. Такое поведение указывает на то, что в экономических системах действуют факторы, не учитываемые в упрощенных математических представлениях, и требует разработки более реалистичных подходов к анализу рисков и прогнозированию рыночной динамики.

Несоответствие между теоретическими моделями и реальными экономическими данными указывает на принципиальную погрешность в применении упрощенных математических инструментов к сложным системам. Традиционные экономические расчеты часто опираются на идеализированные представления, игнорируя присущую экономике нелинейность и взаимосвязанность факторов. В результате, модели, корректные в абстрактной математике, оказываются неспособными адекватно описывать поведение рынков, склонных к внезапным скачкам и непредсказуемым изменениям. Такой подход не позволяет учесть влияние редких, но критически важных событий, и, следовательно, подрывает надежность прогнозов и эффективность стратегий управления рисками, подчеркивая необходимость разработки более сложных и реалистичных экономических моделей.

Недооценка отклонений от нормального распределения в экономических данных способна привести к серьезным ошибкам в прогнозировании и управлении рисками. Традиционные модели, полагающиеся на гауссовы кривые, зачастую не учитывают вероятность экстремальных событий, что может приводить к неожиданным кризисам и банкротствам, поскольку вероятность наступления событий, выходящих за рамки ожидаемого, оказывается значительно выше, чем предполагалось. В результате, стратегии управления рисками, основанные на упрощенных моделях, оказываются неэффективными, а экономические прогнозы — неточными. Поэтому, для более адекватной оценки рисков и разработки надежных экономических моделей необходимо учитывать реальную структуру данных, включающую в себя отклонения от нормального распределения и возможность возникновения неожиданных событий.

Эконофизика: Новый взгляд на понимание сложности

Эконофизика применяет методы и принципы статистической физики к анализу экономических данных, рассматривая экономику как сложную систему, состоящую из взаимодействующих элементов. В отличие от традиционной экономической модели, основанной на предположениях об рациональном поведении и равновесии, эконофизика фокусируется на эмпирических закономерностях, наблюдаемых в экономических процессах. Это включает в себя анализ статистических распределений, корреляций и флуктуаций в таких данных, как цены активов, объемы торгов и доходы населения. Используемые инструменты включают методы статистического анализа, теории вероятностей, нелинейной динамики и моделирование на основе агентов. Применение статистической физики позволяет выявлять универсальные закономерности и критические явления, которые могут быть не видны при использовании традиционных экономических подходов. Таким образом, экономика рассматривается не как идеально упорядоченная система, а как система, подверженная случайным воздействиям и самоорганизации.

В отличие от традиционной экономики, часто полагающейся на строгие аксиоматические модели, экономико-физический подход делает акцент на эмпирических закономерностях и визуальном анализе данных. Это означает, что вместо построения моделей на основе заранее определенных теоретических принципов, исследователи в первую очередь изучают фактические данные, выявляя статистические зависимости и паттерны. Такой подход позволяет обнаруживать скрытые взаимосвязи и нелинейные эффекты, которые могут быть упущены при использовании строго дедуктивных методов. Анализ больших массивов экономических данных, включая временные ряды цен, объемов торгов и других показателей, с использованием статистических методов и визуализации позволяет выявлять самоорганизующиеся структуры и фрактальные паттерны, характерные для сложных систем. Это, в свою очередь, способствует разработке более реалистичных моделей экономических процессов и повышению точности прогнозов.

Эконофизика, в отличие от традиционной экономической теории, акцентирует внимание на взаимодействиях между экономическими агентами, петлях обратной связи и присущей экономической системе неупорядоченности. Вместо стремления к строгому аксиоматическому построению моделей, эконофизика рассматривает экономику как сложную систему, где поведение целого определяется не только суммой действий отдельных агентов, но и возникающими между ними взаимосвязями. Взаимодействия могут проявляться в форме торговых операций, информационных потоков или социальных связей, а петли обратной связи приводят к усилению или ослаблению определенных тенденций. Учет этих факторов позволяет создавать более реалистичные модели, способные адекватно отражать динамику экономических процессов и предсказывать их развитие, в отличие от моделей, игнорирующих эти ключевые аспекты.

Статистическая физика предоставляет надежную теоретическую основу для анализа сложных взаимодействий в экономических системах, опираясь на хорошо разработанные методы и концепции, изначально предназначенные для изучения систем с большим числом взаимодействующих частиц. Ключевые инструменты, такие как f(x) = \in t_{-\in fty}^{\in fty} g(x) dx и методы ансамблевого анализа, позволяют описывать коллективное поведение экономических агентов, не требуя детального знания индивидуальных характеристик каждого агента. Концепции фазовых переходов, критических явлений и фрактальной геометрии, разработанные в статистической физике, находят применение в моделировании рыночных процессов, финансовых кризисов и других экономических явлений, позволяя выявлять универсальные закономерности и предсказывать поведение сложных экономических систем.

Масштабная инвариантность и преобладание степенных законов

Масштабная инвариантность означает, что характеристики системы остаются неизменными при изменении масштаба наблюдения. Это проявляется в виде распределений, подчиняющихся степенному закону (power law), где вероятность события пропорциональна P(x) \propto x^{-k}, где k — показатель степени. В таких распределениях, в отличие от нормального (гауссова) распределения, большие отклонения от среднего встречаются значительно чаще, что приводит к наличию «толстых хвостов». По сути, масштабная инвариантность предполагает отсутствие характерного масштаба в системе, и свойства системы на малом масштабе аналогичны ее свойствам на большом масштабе, лишь с учетом изменения общей величины.

Программа Бенуа Мандельброта заключалась в критике широкого применения гауссовых (нормальных) распределений в моделировании финансовых и других сложных систем. Мандельброт утверждал, что в реальности многие явления демонстрируют распределения с «тяжелыми хвостами» (fat tails), то есть более высокую вероятность экстремальных событий, чем предсказывает гауссово распределение. Вместо этого он предлагал использовать модели, основанные на масштабно-инвариантности, которые позволяют описывать самоподобные структуры и фрактальные закономерности, более точно отражающие наблюдаемые данные, особенно в контексте финансовых рынков, где резкие колебания и кризисы происходят значительно чаще, чем предсказывает гауссова модель. P(x) \propto x^{-\alpha} — типичная форма закона убывания, характеризующего распределения с тяжелыми хвостами, где α — показатель степени.

Закон Ципфа и распределение Парето являются эмпирическими наблюдениями, демонстрирующими широкое распространение степенных зависимостей в экономических данных. Закон Ципфа, изначально сформулированный для анализа частоты слов в текстах, показывает, что частота слова обратно пропорциональна его рангу в списке по частоте, описываясь формулой f \propto 1/r, где f — частота, а r — ранг. Распределение Парето, также известное как принцип 80/20, указывает на то, что примерно 80% эффекта достигается 20% причин, что математически выражается степенной функцией. В экономике эти распределения наблюдаются в распределении доходов, размерах компаний, частоте сделок на финансовых рынках и других явлениях, указывая на то, что небольшое количество сущностей часто вносит непропорционально большой вклад в общую картину.

Турбулентность, характеризующаяся флуктуациями, происходящими на различных масштабах, предоставляет полезную аналогию для понимания хаотичного поведения финансовых рынков. В турбулентных потоках энергия передается между вихрями разных размеров, что приводит к непредсказуемым колебаниям. Аналогично, на финансовых рынках ценовые движения на разных временных масштабах демонстрируют корреляции и зависимость, что указывает на передачу «энергии» (капитала) между различными активами и участниками рынка. Отсутствие четкой зависимости от начальных условий и склонность к экстремальным событиям, свойственные турбулентности, также находят отражение в волатильности и непредсказуемости финансовых рынков, где даже небольшие изменения в макроэкономических показателях или настроениях инвесторов могут приводить к значительным колебаниям цен.

Инструменты для анализа сложности: от вейвлетов до шероховатой волатильности

Волновой анализ представляет собой эффективный инструмент для разложения временных рядов на различные масштабы, что позволяет выявить скрытые закономерности и локализованные колебания. В отличие от традиционных методов, таких как преобразование Фурье, волновой анализ способен одновременно анализировать данные во временной и частотной областях. Это особенно ценно при исследовании нестационарных сигналов, характерных для финансовых рынков и других динамических систем. Использование волнолетов, локализованных во времени и частоте, позволяет точно определить моменты резких изменений и выявить кратковременные тренды, которые остаются незамеченными при использовании стандартных статистических методов. Таким образом, волновой анализ обеспечивает более детальное и информативное представление о структуре временных рядов, способствуя более глубокому пониманию сложных процессов и повышению точности прогнозов.

Модели «шероховатой волатильности» представляют собой усовершенствованный подход к описанию финансовых рынков, преодолевая ограничения традиционной модели броуновского движения. В отличие от последнего, предполагающего постоянную волатильность, эти модели учитывают, что волатильность сама по себе является случайным процессом, характеризующимся кратковременной зависимостью и «шероховатостью». Это означает, что изменения волатильности не происходят плавно, а демонстрируют резкие скачки и флуктуации, что гораздо точнее отражает реальное поведение финансовых активов. \sqrt{t} — зависимость, присущая данным моделям, позволяет учитывать, что волатильность меняется со временем, что особенно важно для краткосрочного прогнозирования и оценки рисков. В результате, «шероховатая волатильность» обеспечивает более реалистичное представление о динамике финансовых рынков и позволяет создавать более точные модели ценообразования и управления рисками.

Математическая концепция мультипликативного хаоса представляет собой мощный инструмент для моделирования случайных процессов, характеризующихся меняющейся интенсивностью. В отличие от традиционных моделей, предполагающих постоянную волатильность, мультипликативный хаос учитывает, что сама интенсивность флуктуаций подвержена случайным изменениям. Это особенно актуально для финансовых рынков, где волатильность не является постоянной величиной, а скорее динамически меняется во времени. \sigma(t) = \sigma_0 \exp(\xi(t)) — в данной формуле \sigma(t) представляет собой волатильность в момент времени t, а \xi(t) — случайный процесс, описывающий изменения интенсивности. Такой подход позволяет более реалистично отражать сложные паттерны, наблюдаемые на финансовых рынках, и улучшает точность прогнозирования рисков.

Дробное броуновское движение представляет собой расширение классической модели броуновского движения, призванное более точно отражать поведение финансовых временных рядов. В отличие от стандартного броуновского движения, предполагающего независимость приращений, дробное броуновское движение учитывает возможность долгосрочных зависимостей — то есть, влияние прошлых изменений на будущие. Этот эффект, известный как долгосрочная память, часто наблюдается на финансовых рынках, где события могут иметь затяжные последствия. Математически, это достигается за счет использования параметра Херста H, где 0 < H < 1 указывает на долгосрочную зависимость, а H = 0.5 соответствует стандартному броуновскому движению. Применение дробного броуновского движения позволяет создавать более реалистичные модели ценообразования активов и более эффективно оценивать риски, особенно в условиях, когда традиционные модели не учитывают существенные долгосрочные корреляции.

Влияние на понимание и моделирование экономических систем

Гипотеза о зернистости предполагает, что концентрация экономической активности в относительно небольшом числе крупных фирм способна значительно усиливать макроэкономические колебания. Данное явление связано с тем, что изменения в деятельности доминирующих компаний оказывают несоразмерно большое влияние на общие экономические показатели. В отличие от традиционных моделей, предполагающих равномерное распределение влияния, зернистость подчеркивает, что шоки, затрагивающие крупных игроков, распространяются по всей системе, приводя к более выраженным и продолжительным колебаниям. Исследования показывают, что рост или падение нескольких крупных корпораций может искажать общую картину экономического здоровья, создавая иллюзию большей волатильности, чем если бы активность была более распределена. Таким образом, понимание зернистости является ключевым для более точного прогнозирования и смягчения последствий макроэкономических кризисов.

Концепция самоорганизованной критичности предлагает уникальный взгляд на эволюцию экономических систем, рассматривая их как структуры, естественным образом стремящиеся к критическим состояниям. В этих состояниях даже небольшие возмущения могут приводить к каскадным эффектам, распространяющимся по всей системе. Это проявляется в наблюдаемом масштабно-инвариантном поведении, где события различного масштаба возникают с предсказуемой частотой, описываемой степенным законом. В отличие от традиционных моделей, предполагающих нормальное распределение, самоорганизованная критичность объясняет возникновение «толстых хвостов» в распределениях экономических показателей, указывая на повышенную вероятность экстремальных событий и системных рисков. Таким образом, экономические системы не нуждаются во внешнем факторе для достижения нестабильности — она возникает как внутреннее свойство их организации, что позволяет по-новому взглянуть на причины финансовых кризисов и волатильности рынков.

Наблюдения за финансовыми рынками и экономическими системами выявляют отклонения от нормального (гауссова) распределения, что ставит под вопрос применимость традиционных экономических моделей. В частности, эмпирические «хвосты» распределений оказываются «толстыми», то есть вероятность экстремальных событий значительно выше, чем предсказывает гауссова модель. Однако, эти «толстые хвосты» не соответствуют стабильным распределениям Леви, что указывает на более сложную структуру рисков. Данное несоответствие подчеркивает необходимость отказа от упрощающих предположений о нормальности и принятия во внимание нелинейные взаимодействия и эффекты масштаба, определяющие системный риск и финансовую нестабильность. Игнорирование этих особенностей приводит к недооценке вероятности кризисных явлений и неэффективности методов управления рисками.

Анализ волатильности показывает, что её автокорреляция замедляется, подчиняясь степенному закону, что свидетельствует о концентрации периодов высокой и низкой волатильности, а также о долгосрочной памяти системы. Более того, флуктуации темпов роста фирм различного размера демонстрируют затухание медленнее, чем S^{-1/2}, указывая на зернистость структуры экономики и, как следствие, на неспособность центральной предельной теоремы адекватно описывать макроэкономические процессы. Эти наблюдения подчеркивают необходимость отказа от упрощающих предположений о нормальном распределении в экономических моделях и принятия во внимание присущей системам сложности. Игнорирование этих факторов приводит к неверной оценке рисков и построению нереалистичных прогнозов, в то время как учет сложности позволяет создавать более устойчивые и точные модели, способные лучше отражать динамику реальной экономики.

Исследование истории эконофизики неизбежно наталкивает на мысль о том, как парадоксальные на первый взгляд явления со временем становятся общепринятой нормой. Подобно тому, как фракталы Мандельброта открыли новые горизонты в математике, эконофизика бросила вызов традиционным экономическим моделям, основанным на рациональном равновесии. Симона де Бовуар как-то заметила: «Старение — это не столько физический процесс, сколько накопление опыта». И в этом есть своя ирония: каждое новое поколение экономистов стремится построить «идеальную» модель, не замечая, что предыдущие, казавшиеся несовершенными, содержали в себе зерна истины. В конечном счете, «толстые хвосты» и кластеризация волатильности — это не отклонения от нормы, а закономерности, присущие сложным системам, подобно тому, как любая «революционная» технология завтра станет техдолгом.

Куда же всё это ведёт?

Рассмотренные подходы, с их акцентом на эмпирические наблюдения и самоорганизующуюся критичность, неизбежно сталкиваются с тем, что любая «красивая» модель рано или поздно требует объяснения всё новых и новых аномалий. И, конечно, с необходимостью объяснять, почему её предсказания не сбываются. В конце концов, «толстые хвосты» и кластеризация волатильности — это не законы природы, а лишь симптомы. Симптомы чего? Это, как обычно, остаётся за кадром. Документация, увы, не прояснит ситуацию.

Попытки втиснуть финансовые рынки в рамки фрактальной геометрии, хотя и элегантны, неизбежно наталкиваются на проблему масштабируемости. Что произойдёт, когда объёмы торгов вырастут в тысячу раз? Будут ли все эти «самовосстанавливающиеся» алгоритмы всё ещё работать, или мы просто не успеем заметить, как система окончательно сломается? Если баг воспроизводится — значит, у нас стабильная система, и это, пожалуй, самое важное.

В конечном итоге, эконофизика, как и любая другая попытка понять сложность, рискует превратиться в ещё один набор инструментов для тех, кто умеет ими пользоваться. А истинные закономерности, как всегда, останутся где-то за пределами досягаемости, пока очередная «революционная» технология не станет очередным техдолгом.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2602.02078.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2026-02-04 05:24