Квантовая механика: новый взгляд на случайность и эволюцию

от

Автор: Денис Аветисян

Предлагается оригинальный вариационный подход к квантовой механике, где случайность возникает из фундаментальных ограничений масштаба, альтернативный коллапсу волновой функции и стандартной бомовской механике.

🧐

Купил акции по совету друга? А друг уже продал. Здесь мы учимся думать своей головой и читать отчётность, а не слушать советы.

Бесплатный телеграм-канал

Разработана вариационная формулировка квантовой механики, основанная на принципе наименьшего информационного содержания и приводящая к появлению динамики Шрёдингера и объективной случайности на границах.

Квантовая механика, несмотря на свою экспериментальную верификацию, продолжает порождать вопросы о природе случайности и детерминизма. В статье «A Time-Symmetric Variational Formulation of Quantum Mechanics with Emergent Schrödinger Dynamics and Objective Boundary Randomness» предложена новая вариационная формулировка, в которой динамика Шрёдингера и закон направляющей силы возникают как следствие принципа наименьшего действия, а случайность проявляется на границах рассматриваемых масштабов. Предложенный подход позволяет отказаться от постулата о квантовом равновесии, характерного для бомовской механики, и естественным образом удовлетворяет правилу Борна. Не является ли предложенная вариационная схема ключом к более глубокому пониманию фундаментальной природы квантовой реальности и ее связи с классическим миром?

За пределами волновых функций: гидродинамическое описание

Традиционный подход к квантовой механике, основанный на волновых функциях, зачастую требует значительных вычислительных ресурсов, особенно при моделировании сложных систем. Волновая функция, описывающая состояние квантовой частицы, представляет собой решение \text{Schrödinger equation}, которое может быстро усложняться с увеличением числа частиц и взаимодействий. Более того, абстрактный математический формализм волновой функции не всегда позволяет интуитивно понять лежащие в основе динамические процессы. Несмотря на свою эффективность в предсказании результатов экспериментов, волновая функция может скрывать фундаментальные механизмы, определяющие поведение квантовых систем, затрудняя разработку новых подходов к управлению и манипулированию квантовыми явлениями. Поэтому поиск альтернативных, более прозрачных и вычислительно эффективных методов описания квантового мира является актуальной задачей современной физики.

Вместо традиционного описания квантовых явлений посредством волновых функций, всё чаще применяется гидродинамическое описание, представляющее квантовую систему в терминах полей плотности и тока. Этот подход, напоминающий динамику жидкостей, позволяет рассматривать квантовые частицы не как волны, а как флюиды, обладающие определенной плотностью и скоростью потока. Вместо решения сложного уравнения Шрёдингера, внимание фокусируется на эволюции этих полей, что значительно упрощает анализ и моделирование многих квантовых процессов. \rho(x,t) обозначает плотность вероятности нахождения частицы в точке x в момент времени t, а j(x,t) — плотность тока, определяющая направление и интенсивность движения частицы. Такой подход не только предоставляет более интуитивное понимание квантовой механики, но и открывает новые возможности для разработки эффективных вычислительных методов.

Переход к гидродинамическому описанию позволяет рассматривать квантовые задачи не как решение сложных уравнений, а как задачи оптимизации, сосредоточенные на полях плотности и тока. Вместо того чтобы вычислять волновые функции, описывающие вероятность нахождения частицы в определенной точке, исследователи теперь стремятся найти оптимальное распределение плотности и тока, которое соответствует заданному квантовому состоянию. Такой подход, по сути, преобразует квантовую механику в область, где можно использовать методы оптимизации, разработанные для классических систем, что значительно упрощает вычисления и открывает возможности для решения задач, ранее недоступных из-за вычислительных ограничений. \nabla \cdot J = 0 — уравнение непрерывности, являющееся ключевым элементом этой новой формулировки, демонстрирует связь между изменениями плотности и потоком тока, что позволяет эффективно моделировать динамику квантовых систем.

Формулирование квантовых задач как задач оптимизации

Первичная задача (Primal Problem) в контексте квантовой оптимизации заключается в непосредственной оптимизации гидродинамических переменных — таких как плотность вероятности и скорость потока — при соблюдении физических ограничений, описывающих рассматриваемую систему. Эти ограничения обычно включают в себя уравнение непрерывности, обеспечивающее сохранение вероятности, а также граничные условия, определяющие поведение системы в пространстве и времени. Математически, задача формулируется как минимизация или максимизация функционала, зависящего от гидродинамических переменных, при условии, что эти переменные удовлетворяют заданным физическим ограничениям. \min_{u} F(u) \text{ subject to } C(u) = 0 , где u — вектор гидродинамических переменных, F — функционал, подлежащий оптимизации, а C — вектор, описывающий физические ограничения.

Для обеспечения условия непрерывности при формулировании квантовых задач как задач оптимизации, вводится понятие двойственной задачи с использованием множителей Лагранжа. Данный метод позволяет преобразовать ограничения, накладываемые на физические величины, в часть целевой функции. В результате, задача оптимизации становится эквивалентной минимизации (или максимизации) модифицированной целевой функции, включающей исходную функцию и штрафные члены, пропорциональные нарушениям ограничений. Математически, это выражается добавлением к исходной функции f(x) членов вида \lambda_i g_i(x), где \lambda_i — множители Лагранжа, а g_i(x) — функции, определяющие ограничения. Решение двойственной задачи приводит к нахождению оптимального решения, удовлетворяющего как исходной задаче оптимизации, так и наложенным ограничениям.

Решение двойственной задачи оптимизации требует выполнения условий Каруша-Куна-Таккера (ККТ). Эти условия представляют собой необходимые условия оптимальности и выражаются в виде системы уравнений и неравенств, включающих лагранжиан, градиенты целевой функции и ограничений, а также двойные переменные (множители Лагранжа). В частности, условия ККТ требуют, чтобы градиент лагранжиана по переменным задачи был равен нулю, а также выполнение условий дополняемости, гарантирующих неотрицательность двойных переменных и равенство нулю для активных ограничений. \nabla_x L(x, \lambda) = 0 , где L — лагранжиан, а x — вектор переменных оптимизации. Несоблюдение условий ККТ указывает на то, что текущее решение не является оптимальным, и необходима дальнейшая оптимизация.

Квантовое уравнение Гамильтона-Якоби и регуляризация

Условия Каруша-Куна-Таккера (ККТ) естественным образом приводят к ‘Квантовому уравнению Гамильтона-Якоби’, которое описывает эволюцию фазы волновой функции. Данное уравнение является ключевым в квантовой механике, поскольку связывает временную производную фазы с градиентом потенциала и кинетической энергией частицы. В частности, уравнение Гамильтона-Якоби позволяет рассматривать эволюцию фазы S(x,t) как функцию координат x и времени t, определяемую как решение уравнения: i\hbar \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{p^2}{2m} + V(x), где p — импульс, m — масса, а V(x) — потенциал. Таким образом, решение данного уравнения определяет временную эволюцию волновой функции, описывая ее фазовый сдвиг.

Для устранения неоднозначностей и обеспечения корректности постановки задачи, вводится регуляризация посредством информации Фишера в рамках ‘Регуляризованного действия Фишера’. Стоимость действия, ограничивающего плотность вероятности к резкому классическому состоянию, обратно пропорциональна квадрату ширины σ² гауссовской аппроксимации. Это означает, что чем шире гауссовское распределение, тем ниже стоимость ограничения плотности, и наоборот. Введение информации Фишера как регуляризирующего члена позволяет получить устойчивую формулировку задачи и однозначно определить решения.

Регуляризация, реализованная посредством вариационного принципа, позволяет получить устойчивую основу для вывода и решения уравнений движения. В результате получается квантовый потенциал с явной формулой ℏ²/4mσ²(1-x²/2σ²) , где ℏ — постоянная Планка, m — масса частицы, а σ — ширина гауссовой аппроксимации. Данная форма потенциала обеспечивает корректное поведение волновой функции и позволяет исследовать квантовые эффекты в рамках классического формализма, минимизируя неопределенности, возникающие при решении уравнений движения.

Объективная случайность и масштабная зависимость

Принцип максимальной относительной энтропии предлагает фундаментальный взгляд на природу объективной случайности. Вместо того чтобы рассматривать случайность как неотъемлемое свойство системы, этот принцип постулирует, что она возникает из ограничений, связанных с локализацией и разрешением. Иными словами, кажущаяся случайность не является внутренним свойством самой системы, а скорее отражением пределов, с которыми мы можем точно определить её состояние. По сути, случайность становится результатом нашей неспособности получить полную информацию о системе из-за ограничений в точности измерений и пространственном разрешении. Это означает, что, если бы у нас был доступ к бесконечно точным измерениям, кажущаяся случайность исчезла бы, и система продемонстрировала бы детерминированное поведение. Таким образом, объективная случайность рассматривается не как присущая характеристика мира, а как следствие ограничений нашего познания и используемых инструментов.

Представление об объективной случайности тесно связано с зависимостью от масштаба наблюдения, что указывает на изменение самой онтологии системы в зависимости от уровня детализации. Иными словами, при переходе от одного масштаба к другому, фундаментальные свойства и характеристики системы могут трансформироваться, проявляя различные формы поведения. Это не означает, что система «неопределённа» сама по себе, а скорее, что наше понимание её структуры и динамики ограничено возможностями измерительного аппарата и выбранным масштабом анализа. Такая зависимость от масштаба предполагает, что не существует единой, абсолютной реальности, а лишь набор приближений, валидных в определённом диапазоне масштабов, что существенно влияет на интерпретацию наблюдаемых явлений и требует осторожного подхода к экстраполяции результатов, полученных на одном уровне, на другие уровни организации материи.

Исследование гауссова волнового пакета подтверждает, что кажущаяся случайность не является внутренним свойством системы, а возникает из-за ограничений измерительного аппарата и конечного разрешения. В частности, анализ показывает, что полное действие S стремится к бесконечности при стремлении стандартного отклонения σ к нулю. Это математическое ограничение указывает на фундаментальный масштабный предел, за которым классическое понятие случайности теряет смысл, а попытки локализовать частицу с бесконечной точностью приводят к неопределенности. Таким образом, случайность не является неотъемлемой частью реальности, а представляет собой следствие принципиальных ограничений на точность наших измерений и наблюдаемой нами шкалы.

Представленная работа демонстрирует смелый подход к осмыслению фундаментальных основ квантовой механики, предлагая вариационный принцип, где случайность возникает не как постулат, а как следствие ограничения, накладываемого информацией Фишера. Это переосмысление, в духе поиска объективности в квантовом мире, находит отклик в словах Нильса Бора: «Противоположности не исключают друг друга, а дополняют». Действительно, данное исследование, отказываясь от стандартного коллапса волновой функции и предлагая альтернативу в виде бомовской механики, демонстрирует, что различные интерпретации квантовой теории могут быть не взаимоисключающими, а взаимодополняющими способами описания реальности. Акцент на пределе масштаба и его связи с информацией Фишера, предложенный авторами, является важным шагом к созданию более полной и объективной картины квантового мира.

Что дальше?

Представленная работа, стремясь к вариационному описанию квантовой механики, не столько разрешает давние парадоксы, сколько переносит акцент на более фундаментальные вопросы. Определение «объективной случайности» через предел, заданный информацией Фишера, выглядит элегантно, но оставляет открытым вопрос о природе этого предела. Не является ли это лишь заменой одного непроясненного принципа другим? Масштабируемость подобного подхода к сложным системам, где взаимодействие частиц не сводится к простым гидродинамическим моделям, представляется проблематичной.

Попытка обойти коллапс волновой функции, безусловно, заслуживает внимания, однако необходимо учитывать, что предложенная схема, в конечном итоге, кодирует определенное мировоззрение о природе реальности. Увлечение оптимизацией, особенно в контексте примально-дуальных методов, не должно заслонять этические аспекты автоматизации принятия решений, даже на квантовом уровне. Ведь масштабируемость без этики ведет к непредсказуемым последствиям.

Будущие исследования, вероятно, должны быть сосредоточены на экспериментальной проверке предсказаний данной модели, а также на разработке более строгих критериев для определения «квантового равновесия». Контроль над ценностями, заложенными в алгоритм, — единственный способ сделать подобную систему безопасной. Иначе, стремление к элегантности может обернуться упрощением, а упрощение — заблуждением.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.22320.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-30 12:51