Квантовые фазовые переходы: взгляд сквозь призму энтропии

Автор: Денис Аветисян

Новое исследование раскрывает универсальные и не универсальные аспекты квантовой критичности, используя неаддитивную энтропию для анализа одномерной модели Изинга.

🧐

Купил акции по совету друга? А друг уже продал. Здесь мы учимся думать своей головой и читать отчётность, а не слушать советы.

Бесплатный телеграм-канал

Наблюдается, что квантовый параметр Грюнайзена, характеризующий чувствительность системы к изменениям внешнего магнитного поля, демонстрирует зависимость от отношения $J/B$ и энтропийного индекса, причём критическое значение этого отношения, определяемое параметром $S$, обуславливает переход между квантово-парамагнитным состоянием, где спины выровнены вдоль поля, и состоянием с суперпозицией спиновых конфигураций, причём анализ для восьми спинов подтверждает, что при $S=1/2$ в пределе бесконечного размера системы данный параметр стремится к единице.

Работа демонстрирует конечный и зависящий от размера квантовый параметр Грюнезена и предлагает фотостриктивный эксперимент для исследования эффектов конечных размеров.

Квантовая критичность, несмотря на кажущуюся универсальность, часто проявляет зависимость от микроскопических деталей системы. В работе, озаглавленной ‘Universal and non-universal facets of quantum critical phenomena unveiled along the Schmidt decomposition theorem’, исследуется влияние спинового параметра на квантовую функцию Грюнайзена в одномерной модели Изинга с поперечным магнитным полем. Полученные результаты демонстрируют, что, несмотря на увеличение квантовой функции Грюнайзена с ростом спина, ее конечность и зависимость от размера системы обусловлены структурой гильбертова пространства, а не универсальным классом критичности. Каким образом предложенная экспериментальная схема, основанная на фотостриктивном эффекте, позволит более детально изучить эффекты конечного размера вблизи квантовых критических точек?

Раскрывая критичность: Пределы традиционного анализа

Изучение поведения физических систем вблизи $критической точки$ является основополагающим для понимания различных явлений, от магнетизма до турбулентности. Однако, традиционные аналитические методы часто оказываются недостаточными для адекватного описания этих систем. Сложность заключается в том, что взаимодействие между составляющими элементами становится доминирующим вблизи критической точки, порождая коллективное поведение, которое нельзя предсказать, исходя из свойств отдельных элементов. Нелинейные эффекты и флуктуации усиливаются, приводя к возникновению новых фаз и критических явлений, требующих более сложных подходов, учитывающих корреляции и коллективные эффекты, которые не улавливаются стандартными методами анализа.

Одномерная модель Изинга с поперечным магнитным полем представляет собой упрощенную, но мощную основу для изучения критических явлений в физике конденсированного состояния. Несмотря на свою кажущуюся простоту, анализ данной модели требует применения инструментов, способных улавливать малейшие изменения в поведении системы. В частности, для точного определения критической точки и характеристик фазового перехода необходимо учитывать квантовые флуктуации, вызванные поперечным магнитным полем. Традиционные методы, основанные на классической статистической механике, часто оказываются недостаточными для описания этих флуктуаций, что делает необходимым использование более сложных подходов, таких как метод функциональной интеграции или численные методы Монте-Карло. В результате, понимание критических свойств даже этой упрощенной модели требует значительных вычислительных ресурсов и теоретических усилий, подчеркивая сложность анализа систем, находящихся вблизи критической точки, и необходимость разработки новых аналитических инструментов.

Традиционные методы анализа, несмотря на свою широкую распространенность, зачастую оказываются неспособны адекватно описать поведение физических систем вблизи критических точек, особенно когда рассматривается система ограниченного размера. Эффект конечных размеров, или $Finite Size Effects$, проявляется в искажении критических свойств, таких как критическая температура и критические экспоненты, поскольку граничные условия оказывают существенное влияние на взаимодействие между элементами системы. В частности, флуктуации становятся более выраженными, а корреляционная длина ограничена размером системы, что приводит к расхождению между теоретическими предсказаниями, полученными для бесконечно больших систем, и результатами моделирования или экспериментов с реальными, конечными системами. Понимание и учет этих эффектов является критически важным для получения достоверных результатов и корректной интерпретации данных, полученных при изучении критических явлений в физике конденсированного состояния и статистической физике.

В цепи Изинга с полуцелочисленным спином при критической точке (λ=J/B=1) исследовалось поведение подсистем размером L и (N-L) с использованием q-энтропии для анализа корреляций.

За пределами аддитивности: Введение неэкстенсивных сред

Принцип аддитивности, или экстенсивности, является фундаментальным для обеспечения согласованности термодинамических свойств системы. Он подразумевает, что такие величины, как энергия и энтропия, масштабируются линейно с размером системы — удвоение размера системы приводит к удвоению этих величин. Однако, вблизи критических точек, где система претерпевает фазовые переходы, этот принцип может нарушаться. В этих точках корреляции между компонентами системы становятся дальнодействующими, что приводит к отклонениям от линейной зависимости между размером системы и термодинамическими величинами. Нарушение экстенсивности проявляется в расходимостях, возникающих при описании критических явлений традиционными методами, что требует разработки альтернативных подходов к термодинамическому описанию систем с дальнодействующими взаимодействиями и конечным размером.

Энтропия $qq$-типа представляет собой неаддитивную величину, разработанную для анализа критических явлений и систем, демонстрирующих отклонения от принципа экстенсивности. В отличие от стандартной энтропии Больцмана-Гиббса, которая предполагает линейную зависимость между энтропией и размером системы, $qq$-энтропия учитывает нелинейные взаимодействия и корреляции между компонентами. Это позволяет регуляризовать критические точки, где традиционные методы терпят неудачу из-за расходимостей, и более точно описывать поведение систем с сильными взаимодействиями и конечными размерами. Неаддитивность $qq$-энтропии выражается в том, что энтропия составной системы не равна сумме энтропий её подсистем, что позволяет учесть коллективные эффекты и корреляции, которые не учитываются в аддитивных моделях.

Использование специфического показателя энтропии $q_s = 0.0828$ в рамках $qq$-энтропии позволяет обеспечить конечность величин в критической точке. Это достигается за счет неаддитивности энтропии, которая предотвращает расходимости, типичные для традиционных термодинамических подходов, основанных на аддитивности. Данный показатель позволяет более точно характеризовать системы, демонстрирующие сложные взаимодействия и эффекты конечного размера, предоставляя возможность анализа критических явлений без возникновения сингулярностей и неопределенностей.

Зависимость обобщенной энтропии Sq от размера блока L при различных значениях N и для q, меньших (a), равных (b) и больших (c) 0.0828, демонстрирует линейное поведение Sq при L≤N/2, что подробно описано в тексте.

Запутанность и структура системы

Квантовая запутанность играет фундаментальную роль в поведении многочастичных систем, определяя их реакцию на внешние воздействия. Запутанность, проявляющаяся как корреляции между частицами, не объяснимые классической физикой, существенно влияет на коллективные свойства системы, такие как магнитные моменты или проводимость. В частности, степень запутанности может определять восприимчивость системы к внешним полям, её способность к переходу в различные фазы материи и характер возбуждений. Изменение внешних параметров, например, температуры или магнитного поля, может приводить к изменению степени запутанности и, как следствие, к изменению наблюдаемых свойств системы. Количественная оценка запутанности, например, с помощью энтропии запутанности, позволяет прогнозировать и контролировать поведение многочастичных систем в различных условиях.

Теорема Шмидта представляет собой мощный инструмент для анализа квантовой зацепленности и установления связи между ней, размером системы и энтропией. Суть теоремы заключается в том, что любое квантовое состояние, описывающее две подсистемы $A$ и $B$, может быть представлено в виде сингулярного разложения. Это позволяет выразить состояние в базисе, состоящем из ортогональных пар состояний, где каждое состояние является тензорным произведением состояния подсистемы $A$ и состояния подсистемы $B$. Величины, определяющие сингулярное разложение — сингулярные числа — связаны с энтропией фон Неймана подсистемы $A$ (или $B$) и характеризуют степень зацепленности. В частности, энтропия фон Неймана, вычисленная на основе этих сингулярных чисел, является мерой корреляции между подсистемами, и ее значение позволяет оценить количество запутанности в состоянии. Применение теоремы Шмидта позволяет количественно оценить зацепленность и проанализировать ее изменение при различных параметрах системы.

Применение теоремы Шмидта к одномерной модели Изинга с поперечным магнитным полем демонстрирует взаимосвязь между квантовой запутанностью и критическим поведением системы. Анализ для различных значений спина ($S = 1/2, 3/2, 5/2, 7/2$) показывает, что параметр $Γ_q$, характеризующий степень запутанности, демонстрирует различную зависимость от внешних параметров в зависимости от проекции спина. В частности, наблюдается, что масштабирование $Γ_q$ для спиновых проекций $S=3/2$, $S=5/2$ и $S=7/2$ отличается, что указывает на влияние размера спина на критические свойства и структуру запутанности в рассматриваемой модели.

Анализ зависимости Γq от спина S и числа частиц N показывает, что при увеличении S улучшается экстраполяция Γq к бесконечному N, а в случае S=1/2 взаимодействие ближайших соседей (NN) приводит к значению aq=0.5, в то время как взаимодействие ближайших и следующих ближайших соседей (NNN) дает aq=1.32, при этом Γq0K(S) пропорционально S(S+1) в степени 2.

На пути к экспериментальному исследованию эффектов конечных размеров

Непосредственное наблюдение влияния эффектов конечного размера в реальных материалах представляет собой сложную задачу, поскольку эти эффекты часто проявляются вблизи критических точек и становятся заметными лишь в образцах с определенными характеристиками. Трудность заключается в том, что в макроскопических системах флуктуации, связанные с конечными размерами, могут быть замаскированы другими процессами или оказаться слишком малыми для точного измерения. Для выявления этих эффектов требуются высокоточные эксперименты и тщательный анализ данных, учитывающий различные факторы, влияющие на поведение материала. Исследователи стремятся разработать методы, позволяющие контролировать размер и форму образцов на нанометровом уровне, что необходимо для изучения проявления эффектов конечного размера и проверки теоретических моделей, предсказывающих их влияние на физические свойства материалов.

Фотострикция, метод, использующий свет для создания механических деформаций, представляет собой перспективный подход к экспериментальному исследованию эффектов конечных размеров в ферроэлектрических системах. В отличие от традиционных методов, требующих внешнего механического воздействия, фотострикция позволяет локально и прецизионно контролировать деформации, избегая влияния макроскопических неоднородностей. Используя интенсивное световое излучение, ученые могут индуцировать направленные напряжения в материале, что приводит к изменению его поляризации и позволяет исследовать, как размер образца влияет на критическое поведение и взаимодействия между атомами, такие как взаимодействие ближайших и следующих ближайших соседей. Этот метод особенно ценен для изучения наноразмерных ферроэлектриков, где эффекты конечных размеров становятся доминирующими и существенно влияют на их функциональные свойства, открывая новые возможности для создания компактных и эффективных устройств.

Анализ отклика системы на внешние воздействия, количественно оцениваемый посредством коэффициента Грюнайзена ($Γ$), представляет собой ключевой инструмент для проверки теоретических предсказаний о критическом поведении и роли различных взаимодействий в материале. Измеряя изменение параметров системы под воздействием внешнего стимула, можно оценить вклад ближайших и следующих ближайших соседей во взаимодействие, определяющее макроскопические свойства. В частности, отклонения коэффициента Грюнайзена от теоретических значений могут указывать на значимость дальних взаимодействий или на наличие новых механизмов, влияющих на фазовые переходы и критическое поведение материала. Такой подход позволяет не только подтвердить или опровергнуть существующие модели, но и выявить новые физические явления, определяющие свойства сложных материалов.

Увеличение площади освещаемого образца SbSI позволяет включить больше электрических диполей в фотострикционный эффект, что дает возможность исследовать влияние размера на критические точки.

Универсальное поведение и горизонты за его пределами

Наблюдения за поведением одномерной модели Изинга с поперечным магнитным полем указывают на более общее явление, известное как универсальность критических явлений. Этот феномен проявляется в том, что совершенно различные физические системы, несмотря на различия в своих микроскопических деталях, демонстрируют идентичное поведение вблизи точек критического перехода. Например, характеристики фазового перехода в ферромагнетике могут быть аналогичны характеристикам перехода в некоторых жидкостях или даже в финансовых рынках. Это означает, что существуют фундаментальные принципы, управляющие этими переходами, которые не зависят от конкретной реализации системы. Критический индекс, характеризующий скорость ухода системы от равновесия, становится универсальным параметром, описывающим поведение широкого класса систем вблизи критической точки, что открывает возможности для построения единой теории критических явлений и предсказания свойств новых материалов и процессов.

Универсальность, проявляющаяся в критическом поведении систем, указывает на то, что фундаментальные принципы, определяющие этот переход, не зависят от конкретной модели или материала. Наблюдаемое в $1D$ модели Изинга с поперечным магнитным полем поведение — лишь один из примеров, демонстрирующих, что различные физические системы, несмотря на свои отличия, могут демонстрировать идентичные критические экспоненты и скалирующие функции. Это означает, что законы, управляющие фазовыми переходами и критическими явлениями, являются общими для широкого спектра физических систем — от магнитных материалов и сплавов до жидкостей вблизи критической точки и даже некоторых биологических систем. Таким образом, изучение универсальности открывает путь к пониманию общих закономерностей в поведении сложных систем, позволяя применять полученные знания к различным областям науки и техники.

Дальнейшие исследования, направленные на углубленное понимание принципов универсальности критических явлений, открывают перспективы для раскрытия закономерностей в поведении широкого спектра сложных систем. От конденсированного состояния вещества, где взаимодействие частиц определяет макроскопические свойства материалов, до статистической механики, изучающей коллективное поведение огромного числа элементов, эти концепции могут предложить новые инструменты для анализа и прогнозирования. Понимание универсальных классов критичности, не зависящих от конкретных деталей системы, позволит создать обобщенные модели, применимые к различным областям науки, включая биологию, экономику и даже социальные науки, где сложные взаимодействия определяют наблюдаемые паттерны и явления. Исследование критических переходов и флуктуаций в различных системах может привести к разработке новых технологий и материалов с заданными свойствами, а также к более глубокому пониманию фундаментальных законов природы, управляющих поведением материи и энергии.

Исследование демонстрирует, что квантовая критичность, проявляющаяся в одномерной модели Изинга, обладает как универсальными, так и не-универсальными аспектами. Применение не-аддитивной энтропии для регуляризации критических явлений позволяет выявить конечное и зависящее от размера квантовое отношение Грюнезена. Этот подход подчеркивает важность учета конечных эффектов размера при анализе термодинамических функций отклика. Как однажды заметил Нильс Бор: «Противоположности не отменяют друг друга, они взаимодополняют». Эта мысль находит отражение в данном исследовании, где универсальность и не-универсальность, казалось бы, противоположные концепции, сосуществуют и обогащают понимание квантовой критичности.

Что дальше?

Исследование, представленное в данной работе, выявляет закономерности в критических явлениях, но не предлагает избавления от самой природы неустойчивости. Любой аптайм системы, даже в идеализированной модели Изинга, — лишь временное состояние, обусловленное конкретными условиями. Попытка регуляризовать критику, используя неаддитивную энтропию, не отменяет фундаментального факта: стабильность — это иллюзия, кэшированная временем. Конечное значение параметра Грюнезена, обнаруженное здесь, лишь подчеркивает конечность любой системы и её подверженность флуктуациям.

Предложенный фотостриктивный эксперимент — это, безусловно, интересный путь для исследования эффектов конечного размера, однако следует помнить, что любое измерение вносит возмущение, которое, в свою очередь, изменяет исследуемую систему. Задержка — это налог, который платит каждый запрос, и в данном случае, запрос на информацию о критическом состоянии системы всегда будет искажён самим процессом измерения.

Будущие исследования должны сосредоточиться не на попытках «победить» неустойчивость, а на более глубоком понимании её природы и последствий. Вместо стремления к идеальной стабильности, необходимо разрабатывать методы, позволяющие эффективно функционировать в условиях постоянных изменений. Все системы стареют — вопрос лишь в том, делают ли они это достойно.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.11093.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-15 21:01