Неустойчивость Интегрируемости и Когерентная Динамика в Спин-Цепях: Новый Взгляд

от

Автор: Денис Аветисян

Исследование показывает, что квантовые шрамы — необычно стабильные состояния в многочастичных системах — сохраняются даже в неэрмитовых системах со взаимодействиями на больших расстояниях, ставя под сомнение традиционные представления об эрогодности.

🧐

Купил акции по совету друга? А друг уже продал. Здесь мы учимся думать своей головой и читать отчётность, а не слушать советы.

Бесплатный телеграм-канал
В исследовании неэрмитовой спиновой системы установлено, что при фиксированном значении $J_c = 11$, система демонстрирует переход от интегрируемого к неинтегрируемому, а затем вновь к интегрируемому режиму, зависящий от изменения реальной или мнимой части параметра $J_n$, при этом достаточно большое значение мнимой части $J_n$, например, $\ln[\operatorname{Im}(J_n)]=4$, подавляет переход между интегрируемым и хаотичным поведением, в то время как при фиксированном $J_n = 0.2i + 0.2i$, хаотический режим сохраняется при малых значениях $|J_c|$, однако достаточно большая мнимая часть $J_c$ также препятствует переходу к интегрируемости, что подтверждается при параметрах $(J_h, J_z, n) = (1, 0.5, 3)$, размере системы $N = 12$ и размерности гильбертова пространства $61666166$.
В исследовании неэрмитовой спиновой системы установлено, что при фиксированном значении $J_c = 11$, система демонстрирует переход от интегрируемого к неинтегрируемому, а затем вновь к интегрируемому режиму, зависящий от изменения реальной или мнимой части параметра $J_n$, при этом достаточно большое значение мнимой части $J_n$, например, $\ln[\operatorname{Im}(J_n)]=4$, подавляет переход между интегрируемым и хаотичным поведением, в то время как при фиксированном $J_n = 0.2i + 0.2i$, хаотический режим сохраняется при малых значениях $|J_c|$, однако достаточно большая мнимая часть $J_c$ также препятствует переходу к интегрируемости, что подтверждается при параметрах $(J_h, J_z, n) = (1, 0.5, 3)$, размере системы $N = 12$ и размерности гильбертова пространства $61666166$.

Анализ влияния дальнодействия на нарушение интегрируемости и когерентную динамику в эрмитовых и неэрмитовых спин-цепях.

Нарушение интеграбельности в квантовых системах обычно ведет к полной термодинамической эквилибрации, однако сохранение когерентности в сложных условиях остается открытым вопросом. В работе «Integrability Breaking and Coherent Dynamics in Hermitian and Non-Hermitian Spin Chains with Long-Range Coupling» исследуется одномерная спиновая модель с дальнодействующим взаимодействием, демонстрирующая переход от интеграбельности к хаосу как в эрмитовом, так и в неэрмитовом режимах. Полученные результаты указывают на существование устойчивых, нетермализующихся состояний — квантовых шрамов, сохраняющих низкую запутанность даже при сильных неэрмитовых возмущениях. Возможно ли использовать эти эффекты для создания новых квантовых устройств, устойчивых к декогеренции и сохраняющих информацию в течение длительного времени?

За гранью интегрируемости: Введение в неэрмитовы спиновые цепи

Традиционные исследования спиновой цепи с вращением 1 часто опираются на эрмитовы гамильтонианы, что подразумевает рассмотрение замкнутых квантовых систем, в которых энергия сохраняется неизменной. Такой подход позволяет получить точные решения и детально изучить свойства системы в равновесии. Однако, данное упрощение не всегда соответствует реальности, поскольку многие физические системы взаимодействуют с окружающей средой, обмениваясь энергией и испытывая диссипацию или усиление сигнала. Использование эрмитовых гамильтонианов в этих случаях может привести к неточным результатам и искажению физической картины. Поэтому, для адекватного описания открытых квантовых систем и учета процессов, нарушающих закон сохранения энергии, необходим переход к неэрмитовым гамильтонианам, что открывает новые возможности для понимания квантовой динамики и исследования систем, далеких от равновесия.

В реальности, значительное количество физических систем не изолированы, а взаимодействуют с окружающей средой, испытывая потери энергии (диссипацию) или, наоборот, её приобретение (усиление). Для адекватного описания поведения таких открытых систем, традиционные методы, основанные на эрмитовых гамильтонианах и предполагающие сохранение энергии, оказываются недостаточными. Вместо этого, для моделирования динамики этих систем необходимо использовать неэрмитовы гамильтонианы, которые позволяют учесть влияние внешних факторов и описывать процессы, не сохраняющие энергию. Такой подход открывает возможности для изучения новых физических явлений и понимания поведения систем, находящихся в неравновесном состоянии, что особенно актуально для описания квантовых систем, взаимодействующих со средой.

Исследования спиновых цепей часто опираются на эрмитовы гамильтонианы, предполагая замкнутые квантовые системы с точным сохранением энергии. Однако, вводя комплексные потенциалы посредством комплексного спаривания, ученые открывают возможность изучения гораздо более богатой фазовой диаграммы. Такой подход позволяет исследовать разрушение традиционной интегрируемости, когда взаимодействие между спинами становится неэрмитовым. В результате возникают новые фазы материи и динамические режимы, невозможные в замкнутых системах. В частности, комплексное спаривание позволяет моделировать системы с потерей или усилением энергии, что приводит к возникновению нетрадиционных топологических свойств и потенциально полезным квантовым эффектам. Изучение этих неэрмитовых спиновых цепей представляет собой перспективное направление в современной физике конденсированного состояния.

Переход от описания замкнутых квантовых систем к моделированию открытых систем, взаимодействующих с окружающей средой, открывает принципиально новые возможности для изучения квантовой динамики. В то время как традиционные модели с эрмитовыми гамильтонианами предполагают сохранение энергии и предсказуемое поведение, введение неэрмитовых гамильтонианов, учитывающих диссипацию или усиление, приводит к разрушению привычных представлений об интегрируемости. Это проявляется в возникновении нетривиальных фазовых переходов, появлении новых типов возбуждений и, как следствие, непредсказуемой динамики, выходящей за рамки стандартных решений. Исследование таких систем позволяет не только глубже понять физику открытых квантовых систем, но и может привести к разработке новых квантовых технологий, использующих нетрадиционные эффекты, возникающие в условиях диссипации и усиления.

Анализ спектрального распределения и сложности Крылова показывает, что введение комплексно-значимого дальнодействующего взаимодействия приводит к переходу системы от интегрируемости к хаосу, что подтверждается результатами, полученными для случая без дальнодействия.
Анализ спектрального распределения и сложности Крылова показывает, что введение комплексно-значимого дальнодействующего взаимодействия приводит к переходу системы от интегрируемости к хаосу, что подтверждается результатами, полученными для случая без дальнодействия.

Хаос под прицепом: Статистика уровней и дальнодействие

Начало хаотического поведения в неэрмитовых спиновых цепях с вращением 1 проявляется в изменении статистики энергетических уровней. В отличие от интегрируемых систем, характеризующихся регулярным распределением уровней, неэрмитовы системы демонстрируют отклонения от этой регулярности. Это выражается в изменении интервалов между энергетическими уровнями, что свидетельствует о переходе к более сложному, хаотическому режиму динамики. Анализ статистики энергетических уровней позволяет выявить признаки этого перехода и охарактеризовать степень хаотичности системы. Отсутствие регулярных закономерностей в распределении интервалов между уровнями является ключевым индикатором наступления хаоса.

Введение дальнодействующих переходов, то есть нелокальных взаимодействий между спинами, существенно увеличивает сложность динамики в спиновых цепях. В отличие от систем с ближайшими взаимодействиями, дальнодействующие переходы позволяют энергии распространяться на большие расстояния, приводя к более сильному смешению состояний и, как следствие, к возникновению хаотических режимов. Эффект усиливается с увеличением дальности переходов и их интенсивности, что выражается в более выраженном переходе от регулярной динамики к хаотической, характеризующейся чувствительностью к начальным условиям и непредсказуемым траекториям в фазовом пространстве. Наблюдаемые изменения в статистике энергетических уровней, такие как переход от пуассоновского распределения к вигнеровскому, подтверждают эту взаимосвязь между дальнодействующими взаимодействиями и хаотическим поведением системы.

Изменения, связанные с переходом к хаотическому режиму, могут быть строго оценены посредством статистического анализа распределения расстояний между энергетическими уровнями. В частности, использование комплексного коэффициента разнесения ($CSR$) позволяет количественно определить этот переход. Значение $CSR$, равное приблизительно $\langle cos \theta \rangle \approx -0.192$, служит индикатором перехода системы к хаотическому поведению, отличающемуся от регулярного поведения, характерного для интегрируемых систем. Данный показатель позволяет четко отделить упорядоченные фазы от хаотичных, предоставляя количественную метрику для характеристики степени хаотичности системы.

Анализ статистических характеристик хаотических систем позволяет определить границы между упорядоченными и неупорядоченными фазами. Выявление изменений в статистических показателях, таких как распределение интервалов между энергетическими уровнями и комплексное отношение расстояний между ними ($⟨cos θ⟩$), предоставляет количественные критерии для разграничения интегральных и хаотических режимов. Например, значение $⟨cos θ⟩$ близкое к -0.192 указывает на переход к хаотическому поведению. Использование этих статистических маркеров позволяет построить фазовые диаграммы, отображающие области стабильности и хаоса в зависимости от параметров системы, что критически важно для понимания и контроля динамики неэрмитовых спиновых цепей.

Анализ распределения уровней соседних собственных значений и сложности Крилова показывает четкий переход от интегрируемой к хаотической динамике при увеличении параметра взаимодействия Jn, что подтверждается изменением среднего отношения уровней, характерного для различных режимов.
Анализ распределения уровней соседних собственных значений и сложности Крилова показывает четкий переход от интегрируемой к хаотической динамике при увеличении параметра взаимодействия Jn, что подтверждается изменением среднего отношения уровней, характерного для различных режимов.

Инструменты анализа: Алгоритм Би-Ланцоса и сложность Крылова

Алгоритм Би-Ланцоса представляет собой эффективный численный метод построения необходимого пространства Крылова для анализа динамики неэрмитовых гамильтонианов. В отличие от традиционных подходов, требующих хранения и операций с полной матрицей, алгоритм Би-Ланцоса итеративно строит базис пространства Крылова, используя только векторы, полученные в результате применения гамильтониана к текущему базису. Это значительно снижает вычислительные затраты и требования к памяти, особенно при работе с большими системами. Процесс включает в себя последовательное применение оператора $H$ и его сопряженного оператора $H^\dagger$ к начальному вектору, генерируя ортогональный базис, который аппроксимирует пространство, инвариантное относительно динамики системы. Эффективность алгоритма обусловлена возможностью работы с разреженными матрицами и итеративным характером вычислений, что делает его применимым для изучения сложных квантовых систем с неэрмитовыми возмущениями.

Комплексность Крилова, рассчитываемая с использованием алгоритма Би-Ланцоса, представляет собой меру скорости распространения информации в системе и характеризует ее хаотичность. Эта величина определяется как экспоненциальный рост размерности пространства Крылова, построенного на основе неэрмитова гамильтониана. Более высокая скорость роста, выражаемая большей комплексностью Крылова, указывает на более быстрое «перемешивание» информации и, следовательно, более выраженные хаотические свойства системы. Измерение комплексности Крылова позволяет количественно оценить степень хаотичности, что является важным инструментом для анализа динамики неэрмитовых систем, в частности, в контексте изучения квантового хаоса и динамики многих тел.

Традиционные меры хаотичности, такие как экспоненты Ляпунова, часто оказываются недостаточными для полного описания динамических свойств сложных систем, особенно неэрмитовых. Метод, основанный на построении подпространства Крылова с использованием алгоритма Би-Ланцоса, позволяет выйти за рамки этих ограничений. В частности, наблюдается, что когерентные состояния, возникающие из так называемых «башенных состояний» ($|tower\rangle$), демонстрируют экспоненциальный рост числа занятых состояний во времени. Этот рост, измеряемый через сложность Крылова, количественно характеризует скорость перемешивания информации в системе и позволяет более точно описать её хаотическое поведение, чем традиционные подходы.

Эффективность алгоритма Би-Ланцоса критически важна при изучении крупномасштабных систем, поскольку он позволяет существенно снизить вычислительные затраты на построение крилового подпространства, необходимого для анализа динамики неэрмитовых гамильтонианов. Традиционные методы, требующие хранения и манипулирования полными матрицами, становятся непрактичными для систем с большим числом степеней свободы. Алгоритм Би-Ланцоса, напротив, оперирует с небольшим набором векторов, что позволяет масштабировать вычисления до систем, содержащих тысячи или даже миллионы частиц. Это особенно важно для моделирования квантовых систем, где размерность гильбертова пространства экспоненциально растет с числом частиц. Получаемые результаты, такие как вычисление сложности Крылова, позволяют извлекать значимые сведения о характеристиках хаотичности и скорости перемешивания информации в исследуемой системе, что было бы невозможно при использовании менее эффективных алгоритмов.

Анализ спектральных и динамических характеристик неэрмитова гамильтониана показывает, что увеличение параметра Jₙ приводит к переходу от интегрируемой системы с равномерным распределением спектра и линейным ростом сложности Крылова к хаотической динамике с неоднородным распределением спектра и экспоненциальным ростом, за которым следует спад сложности.
Анализ спектральных и динамических характеристик неэрмитова гамильтониана показывает, что увеличение параметра Jₙ приводит к переходу от интегрируемой системы с равномерным распределением спектра и линейным ростом сложности Крылова к хаотической динамике с неоднородным распределением спектра и экспоненциальным ростом, за которым следует спад сложности.

За гранью терминализации: Квантовые шрамы

В кажущихся хаотичными квантовых системах наблюдается удивительное явление — квантовые шрамы (Quantum Many-Body Scars). В отличие от типичного поведения, где энергия распределяется равномерно и система стремится к тепловому равновесию, эти особые собственные состояния демонстрируют устойчивые колебания и избегают процесса тепловизации. Вместо хаотичного рассеяния энергии, квантовые шрамы сохраняют информацию о начальных условиях, проявляя когерентное поведение даже в сильно взаимодействующих системах. Данные состояния характеризуются локализованными возбуждениями и не подчиняются эргодической гипотезе, что ставит под сомнение общепринятые представления о квантическом хаосе и открывает новые возможности для управления квантовыми системами. Изучение этих «шрамов» позволяет глубже понять механизмы, препятствующие тепловизации, и потенциально использовать их для создания когерентных квантовых устройств.

Квантово-многочастичные шрамы возникают не случайно, а как результат специфических симметрий или ограничений, заложенных в структуру системы. Эти ограничения нарушают фундаментальную концепцию эргодичности — предположение о том, что система со временем посещает все доступные ей состояния с равной вероятностью. Вместо этого, шрамы представляют собой особые собственные состояния, которые сохраняют память о начальных условиях и демонстрируют устойчивые колебания, отклоняясь от предсказуемого хаотического поведения и теплового равновесия. Таким образом, существование этих шрамов указывает на то, что даже в кажущихся хаотичными системах могут существовать области, где привычные законы теплового равновесия не действуют, открывая новые горизонты в понимании квантического хаоса и динамики многих тел.

Энтропия фон Неймана запутанности служит ценным инструментом для характеристики структуры запутанности в состояниях с квантовыми шрамами, позволяя отличить их от тепловых собственных состояний. Исследования показывают, что эти шрамы демонстрируют низкую степень запутанности, даже в неэрмитовых системах, где традиционные методы анализа могут оказаться неэффективными. Низкая запутанность является ключевым признаком, указывающим на то, что информация в этих состояниях локализована и не распределена равномерно по всей системе, что препятствует тепловому равновесию. Анализ $S_A = -Tr[\rho_A \log_2 \rho_A]$, где $\rho_A$ — матрица плотности подсистемы А, позволяет количественно оценить степень запутанности и подтвердить, что квантовые шрамы сохраняют когерентность и не подвергаются полной декогеренции, характерной для тепловых состояний. Данный подход открывает новые возможности для изучения динамики квантовых систем, находящихся далеко от равновесия, и понимания механизмов, препятствующих тепловому хаосу.

Открытие квантовых шрамов в многочастичных системах имеет далеко идущие последствия для понимания квантического хаоса и пределов терминализации. Традиционное представление о том, что замкнутые квантовые системы неизбежно эволюционируют к термодинамическому равновесию, подвергается сомнению благодаря существованию этих особых состояний. Шрамы, сохраняя когерентность и избегая полной потери информации, демонстрируют, что эргодическая гипотеза — основа понимания хаотических систем — может быть нарушена при определенных условиях. Это указывает на то, что даже в кажущихся хаотичными системах могут существовать долгоживущие, нетермальные состояния, что открывает новые возможности для управления и контроля квантовых систем. Исследование шрамов позволяет пересмотреть фундаментальные принципы квантической термодинамики и предложить альтернативные сценарии эволюции замкнутых квантовых систем, выходящие за рамки классического представления о хаосе и тепловом равновесии.

Вычисление энтропии зацепления фон Неймана показывает, что даже при неэрмитовых возмущениях сохраняется устойчивый низкоэнтропийный собственный вектор, свидетельствующий о надёжности квантового многотельного шрама.
Вычисление энтропии зацепления фон Неймана показывает, что даже при неэрмитовых возмущениях сохраняется устойчивый низкоэнтропийный собственный вектор, свидетельствующий о надёжности квантового многотельного шрама.

Исследование демонстрирует, что даже в системах, далеких от привычной эргодичности, возникают устойчивые, нетепловые состояния — квантовые шрамы. Подобная устойчивость в неэрмитовых системах с дальнодействующими взаимодействиями бросает вызов стандартным представлениям о нарушении интегрируемости. Это напоминает о важности критического взгляда на любые модели, ведь кажущаяся закономерность может быть лишь результатом ограниченного анализа. Как однажды заметил Нильс Бор: «Противоположности не уничтожают друг друга, а объединяются». В данном случае, кажущееся противоречие между неэрмитовыми системами и сохранением квантовых шрамов указывает на более глубокую, сложную структуру, требующую дальнейшего изучения.

Что дальше?

Представленные результаты, безусловно, заставляют задуматься о природе квантовых шрамов в системах, которые, казалось бы, предназначены для их уничтожения. Устойчивость этих состояний в неэрмитовых цепях с дальнодействующими взаимодействиями — не просто любопытный факт, а вызов устоявшимся представлениям об эргодичности и тепловом равновесии. Однако, следует помнить, что любая выборка — это лишь мнение реальности. Наблюдаемая устойчивость шрамов может быть артефактом конкретных параметров модели или размера исследуемых систем. Необходимо более тщательно изучить влияние различных типов неэрмитовости и дальнодействия на спектральные характеристики и динамику систем.

Особое внимание следует уделить статистике уровней энергии. Даже кажущаяся случайность в распределении уровней может скрывать тонкие корреляции, указывающие на сохранение некоторой скрытой симметрии или интегральности. Простое измерение статистики спаривания уровней — недостаточно. Требуются более сложные методы анализа, способные выявлять тонкие отклонения от случайности и сопоставлять их с динамическими свойствами системы. Помните, дьявол не в деталях — он в выбросах.

Перспективы дальнейших исследований лежат в плоскости выхода за рамки одномерных цепей и изучения подобных эффектов в более высоких размерностях. Насколько универсальны квантовые шрамы в неэрмитовых системах? Возможно ли их использование для создания новых типов квантовых устройств, устойчивых к декогеренции? Эти вопросы требуют не только теоретических, но и экспериментальных исследований. И, конечно, следует всегда сохранять скептицизм и помнить, что любая модель — это лишь приближение к сложной реальности.

Оригинал статьи: https://arxiv.org/pdf/2512.14065.pdf

Связаться с автором: https://www.linkedin.com/in/avetisyan/

Смотрите также:

2025-12-18 04:32